これは図書館によって、方針が分かれるところなんですよね。

基本的には、図書館は所蔵している資料を読んだり調べたりするところ、という位置づけだと思います。だから、自分の問題集などを持ち込んでの勉強（受験勉強や試験勉強ですね）は、ダメということになります。

でも、実際のところ、自習している人、いますよね。

図書館によっては、自習を許可しているところもあります。これはぜひ利用する図書館に問い合わせてみてください。
普段は学習室がなくても夏休み期間中だけ設置してくれる図書館もありますので、利用したい時期に問い合わせしてみることをお薦めします。私が知っている限り、中央区立図書館や目黒区立図書館の一部で夏休み期間の学習室設置をしています。

自習に関しては、当サイトでも自習できるかどうかのリストを作って、いろいろランキングに置こうと思っていたのですが、これがなかなか難しいのですよ。
自習と調べものの線引きって難しいから、自習禁止の図書館で自習していても職員さんはなかなか注意したりできません。なので、自習できるかどうか問い合わせすると「禁止ですが実質できちゃいますね」なんてお返事をいただいたりするので、そんな図書館を自習できるリストに入れるべきか入れないべきか。。。
だからこのリストは図書館の自習について革命的なこと（って何だ？）でも起きない限り作れなさそうですね。

また、図書館では自習禁止にする代わりに、自習室を他に設けている区市町村もありますね。文化センターや地区センター的な施設にあることが多いようなので、自習室を探している方はそういったところに問い合わせてみるのもいいと思います。

私の個人的な意見では、公立の自習室はあって欲しいですね。公立のスポーツ施設があったりするんだし、勉強施設もあっていいでしょう。

ただ、図書館を自習の場所とするかっていうと、う～ん。。。最近は読書をしに図書館に行くことの多い私ですが、座りたくても席がなかったりするんですよね。特に夏休みの時期なんかは受験生などが押し寄せて大変。

だから、自習室と図書館をそれぞれ別に公立の施設として作って欲しいなぁなんて思います。
図書館の中に作る場合は、自習室と閲覧室は別にするとかね。

この点は、本当に区市町村によって方針の異なるところ。それどころか、席不足の問題がない図書館だったら、特に方針を決めていないところだってあるでしょう。

なので、ご利用の図書館のルールをチェックして、それを守ってくださいね。そして、もし図書館で自習しちゃダメなのに他に自習室を設けていない地域だったら、自習室を作って欲しい！って要望を出しましょう。