駅から徒歩5分以内で行ける駅近図書館をリストアップしてみました。
徒歩は時速4kmで計算しています。
だから徒歩5分以内というのは駅から道のりで333m以内にあるということですね。

江戸川区篠崎図書館

都営新宿線 篠崎駅より徒歩1分

江東区城東図書館

都営新宿線 西大島駅より徒歩1分

江東区豊洲図書館

ゆりかもめ 豊洲駅より徒歩1分

渋谷区代官山スポーツプラザ内ブックポスト

東急東横線 代官山駅より徒歩1分

高円寺駅前図書サービスコーナー

JR中央線・総武線 高円寺駅より徒歩1分

世田谷区奥沢図書館

東急目黒線 奥沢駅より徒歩1分

世田谷区烏山図書館

京王線 千歳烏山駅より徒歩1分

世田谷区経堂図書館

小田急小田原線 経堂駅より徒歩1分

世田谷区代田図書館

京王井の頭線 新代田駅より徒歩1分

台東区根岸図書館

東京メトロ日比谷線 三ノ輪駅より徒歩1分

豊島区中央図書館

東京メトロ有楽町線 東池袋駅より徒歩1分

練馬区春日町図書館

都営大江戸線 練馬春日町駅より徒歩1分

港区高輪図書館

東京メトロ南北線・都営三田線 白金高輪駅より徒歩1分

江東区東大島図書館

都営新宿線 東大島駅より徒歩2分

品川区二葉図書館

東急大井町線 下神明駅より徒歩2分

杉並区高井戸地域区民センター図書室

京王井の頭線 高井戸駅より徒歩2分

豊島区駒込図書館

東京メトロ南北線・JR山手線 駒込駅より徒歩2分

豊島区雑司が谷図書貸出コーナー

都電荒川線 鬼子母神前駅より徒歩2分

文京区千石図書館

都営三田線 千石駅より徒歩2分

港区赤坂図書館

東京メトロ銀座線・半蔵門線・都営大江戸線 青山一丁目駅より徒歩2分

港区麻布図書館

都営大江戸線 麻布十番駅より徒歩2分 東京メトロ南北線 麻布十番駅より徒歩5分

港区三田図書館

都営浅草線 三田駅より徒歩2分 都営三田線 三田駅より徒歩5分 JR山手線・京浜東北線 田町駅より徒歩5分

港区みなと図書館

都営三田線 御成門駅より徒歩2分

港区生涯学習センター前ブックポスト

JR山手線・京浜東北線・横須賀線 新橋駅より徒歩2分

目黒区中目黒駅前図書館

東京メトロ日比谷線・東急東横線 中目黒駅より徒歩2分

板橋区成増図書館

東武東上線 成増駅より徒歩3分 東京メトロ有楽町線 地下鉄成増駅より徒歩5分

大田区馬込図書館

都営浅草線 馬込駅より徒歩3分

江東区豊洲図書館

東京メトロ有楽町線 豊洲駅より徒歩3分

品川区品川図書館

京急本線 新馬場駅より徒歩3分

渋谷区富ヶ谷図書館

小田急小田原線 代々木八幡駅より徒歩3分 東京メトロ千代田線 代々木公園駅より徒歩4分

新宿区男女共同参画推進センター図書資料室

都営新宿線 曙橋駅より徒歩3分

世田谷区梅丘図書館

小田急小田原線 梅ヶ丘駅より徒歩3分

世田谷区尾山台図書館

東急大井町線 尾山台駅より徒歩3分

世田谷区上北沢図書館

京王線 上北沢駅より徒歩3分

中央区京橋図書館

東京メトロ有楽町線 新富町駅より徒歩3分 東京メトロ日比谷線 築地駅より徒歩5分

中央区日本橋図書館

東京メトロ日比谷線 人形町駅より徒歩3分 都営浅草線 人形町駅より徒歩4分

中野区鷺宮図書館

西武新宿線 鷺ノ宮駅より徒歩3分

中野区東中野図書館

JR総武線 東中野駅より徒歩3分

文京区根津図書室

東京メトロ千代田線 根津駅より徒歩3分

文京区本郷図書館

東京メトロ千代田線 千駄木駅より徒歩3分

足立区男女参画プラザ・消費者センター情報資料室

東武伊勢崎線 梅島駅より徒歩4分

板橋区高島平図書館

都営三田線 高島平駅より徒歩4分

板橋区中央図書館

東武東上線 ときわ台駅より徒歩4分

大田区浜竹図書館

京急空港線 大鳥居駅より徒歩4分

北区昭和町図書館

都電荒川線 荒川車庫駅より徒歩4分

江東区東陽図書館

東京メトロ東西線 東陽町駅徒歩4分

品川区源氏前図書館

都営浅草線・東急大井町線 中延駅より徒歩4分 東急大井町線 荏原町駅より徒歩5分

渋谷区笹塚図書館

京王線・京王新線 笹塚駅より徒歩4分

渋谷区中央図書館

JR山手線 原宿駅より徒歩4分

渋谷区長谷戸ブックポスト

東京メトロ日比谷線 恵比寿駅より徒歩4分

新宿区四谷図書館

東京メトロ丸ノ内線 新宿御苑前駅より徒歩4分

台東区浅草橋分室

JR中央線・総武線 浅草橋駅より徒歩4分

千代田区神田まちかど図書館

東京メトロ銀座線 神田駅より徒歩4分 東京メトロ丸ノ内線 淡路町駅より徒歩5分 都営新宿線 小川町駅より徒歩5分

千代田区昌平まちかど図書館

東京メトロ銀座線 末広町駅より徒歩4分

千代田区千代田図書館

東京メトロ東西線・半蔵門線・都営新宿線 九段下駅より徒歩4分

港区生涯学習センター前ブックポスト

都営浅草線 新橋駅より徒歩4分 ゆりかもめ 新橋駅より徒歩4分

練馬区貫井図書館

西武池袋線・西武有楽町線・西武豊島線 中村橋駅より徒歩4分

荒川区尾久図書館

都電荒川線 宮ノ前駅より徒歩5分

大田区池上図書館

東急池上線 池上駅より徒歩5分

大田区蒲田駅前図書館

JR京浜東北線 蒲田駅より徒歩5分

北区赤羽図書館

JR埼京線・京浜東北線 赤羽駅より徒歩5分

北区滝野川西図書館

都営三田線 西巣鴨駅より徒歩5分

北区東十条図書館

JR京浜東北線 東十条駅より徒歩5分

品川区荏原図書館

東急池上線 荏原中延駅より徒歩5分

品川区大崎図書館

JR山手線・埼京線・TWRりんかい線 大崎駅より徒歩5分

渋谷区西原図書館

京王新線 幡ヶ谷駅より徒歩5分

新宿区区政情報センター

東京メトロ丸の内線 新宿三丁目駅より徒歩5分

墨田区緑図書館

都営大江戸線 両国駅より徒歩5分

台東区くらまえオレンジ図書館

都営浅草線 蔵前駅より徒歩5分

中央区月島図書館

東京メトロ有楽町線・都営大江戸線 月島駅より徒歩5分 都営大江戸線 勝どき駅より徒歩5分

世田谷区松沢まちかど図書室

京王線・東急世田谷線 下高井戸駅より徒歩5分

千代田区四番町図書館

都営新宿線 市ヶ谷駅より徒歩5分

中野区野方図書館

西武新宿線 野方駅より徒歩5分

港区生涯学習センター前ブックポスト

東京メトロ銀座線 新橋駅より徒歩5分

港区スポーツセンター前ブックポスト

JR山手線・京浜東北線 田町駅より徒歩5分

目黒区大橋図書館

東急田園都市線 池尻大橋駅より徒歩5分

とりあえず徒歩x分って言い切ってますが、あくまでも目安で考えてくださいね。だいたい、徒歩1分と2分との差なんてそんなにはないですから。

それと気をつけていただきたいのは、同じ駅名でも路線によって距離が違う場合があるということ。例えば、港区三田図書館は都営浅草線三田駅からだと徒歩2分ですが、都営三田線三田駅からだと徒歩5分かかってしまいます。どちらの路線も利用できる場合は、目的地に近いほうを選んだほうがいいですね。

このリストは都心に近いほど有利ですね。
例えば、中央区の図書館は全部載っていますが、そもそも中央区自体ほとんどの場所が5分以内で駅に行ける気もするし。

歩くのが嫌いな方は、ぜひこのリストを利用してください。